计算机中的进制

进制是计算机的基石。人类从数手指开始发明了十进制，而机器只懂高低电平的二进制。这中间横跨了几千年的历史，也藏着一套简洁的换算规则。

1 什么是进制

"进制"的全名叫做进位计数制，是一种人为认定的带进位的计数方法。

有带进位的，自然就有不带进位的——最常见的例子就是"正"字计数法。

小时候，班里选班长，大伙投票，总有一个小伙伴会在黑板上、在班长候选人名字的下面写"正"字，来记录候选人的得票数。一个"正"字五画，数到最后还得数一数一共有多少画，再除以 5 才能算出票数——没有位权，只做简单累加，这就是不带进位的计数。

所说的进位，通常就是：每一位上的数运算时，都是逢 X 进一位：

逢十进一 → 十进制（我们最常用）
逢二进一 → 二进制（计算机内部）
逢十六进一 → 十六进制（程序员读写）

在一种数制中，能使用的数码的个数称为该数制的基数（base），也就是数制名称的由来：

数制	基数	数码
二进制	2	0、1
八进制	8	0 ~ 7
十进制	10	0 ~ 9
十六进制	16	0 ~ 9、A ~ F

生活中的进制

十进制：10 根手指，人类天生的计数工具
六十进制：时间（60 秒 = 1 分、60 分 = 1 时）、角度（60 分 = 1 度）——来自四千多年前的巴比伦人

让我印象最深的是算盘。上小学的时候上课还学过，当时自己的算盘还是个"老古董"。算盘的计数很有意思：下珠四颗各代表 1，上珠一颗代表 5，下珠满 5 就用一颗上珠代替，这叫五升；而每一位上满十才向前一位进一，也就是逢十进一。所以算盘并不是"五进制"，而是五升十进的十进制计数器。

2 进制的发展史（按时间顺序）

进制不是某个人一次发明的，而是不同文明各自摸索出来的：

timeline
    title 进制的发展史
    远古时代 : 结绳记事 刻痕计数
    公元前 3000 年 : 苏美尔人使用六十进制
    公元前 2000 年 : 巴比伦泥板记录六十进制
    公元前 5 世纪 : 中国算筹确立十进制
    公元 3 世纪 : 玛雅人使用二十进制
    公元 5 世纪 : 印度发明数字 0
    1202 年 : 斐波那契把十进制传入欧洲
    宋元时期 : 中国算盘定型 五升十进
    1703 年 : 莱布尼茨发表二进制论文
    1854 年 : 布尔提出布尔代数
    1945 年 : 冯诺依曼架构确立二进制
    1964 年 : IBM System 360 普及十六进制

六十进制：巴比伦人的遗产

苏美尔人和巴比伦人用泥板记账，留下了六十进制的记录（约公元前 2000 年）。为什么要选 60？因为 60 的约数特别多（1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60），做分数运算非常方便。直到今天，时间和角度仍然在用六十进制：60 秒一分钟、60 分一度。

十进制：印度的发明，阿拉伯的传播

十进制位值制的成熟，关键在于数字 0 的发明——公元 5 世纪左右，印度人率先使用 0 占位，"10"、"205" 这样的写法才成立。9 世纪阿拉伯人把它带到欧洲，1202 年意大利数学家斐波那契在《算盘书》中正式引入，从此十进制成为全球通用的计数体系。

二进制：从数学游戏到机器语言

1679 年，德国数学家莱布尼茨开始研究二进制，1703 年发表论文《二进制算术的阐述》。他甚至曾用二进制去解释《周易》的阴阳，不过这更多是一种巧合式的联想
1854 年，英国数学家布尔提出布尔代数，把"真/假"变成 0 和 1 的运算，这是二进制登上历史舞台的理论基础
1945 年，冯·诺依曼在《EDVAC 报告》中确立了"程序存储"的计算机架构，从此二进制成为机器语言：电路只有两种稳定状态，正好对应 0 和 1

十六进制：IBM 的推广

1964 年 IBM 发布 System/360，把 8 位字节确立为业界标准。16 = 2⁴，一位十六进制恰好等于四位二进制，字节和十六进制完美对齐，十六进制从此成为程序员读懂机器数据的"翻译语言"。

3 常见的四种进制

进制	基数	数码	为什么存在
二进制	2	0、1	机器内部：电路的高低电平
八进制	8	0 ~ 7	早期计算机字长是 3 的倍数（12/24/36 位），3 位一组
十进制	10	0 ~ 9	人类的习惯：10 根手指
十六进制	16	0 ~ 9、A ~ F	程序员读写：4 位一组，与字节对齐

换个角度理解四种进制：

二进制：机器按"位"表示，只有 0 和 1
八进制：机器按"3 位一组"表示（一位八进制 = 3 个二进制位）
十进制：人类按"数位"表示
十六进制：机器按"4 位一组"表示（一位十六进制 = 4 个二进制位），两个十六进制位正好表示一个字节

4 位、字节与进制的关系

从最小的单位往上数：

位（bit）：一个二进制位，只有 0 或 1，是计算机最小的信息单位
半字节（nibble）：4 个二进制位，正好是一位十六进制数
字节（byte）：8 个二进制位，正好是两位十六进制数，是计算机存取的基本单位

所以：

一个 8 位的字节，用两位十六进制数就能表示（0x00 ~ 0xFF）

进制越大，用的位数越少。同一个数 255 的四种写法：

进制	写法	位数
二进制	11111111	8 位
八进制	0o377	3 位
十进制	255	3 位
十六进制	0xFF	2 位

进一步梳理三者关系：二进制描述的是机器的物理状态，字节是机器存取的基本单位，进制是人类选择的读写符号。十六进制之所以高效，正是因为 16 = 2⁴，与字节 8 = 2³ 天然对齐。

0 ~ 15 对照表

十进制	二进制	八进制	十六进制
0	0000	0	0
1	0001	1	1
2	0010	2	2
3	0011	3	3
4	0100	4	4
5	0101	5	5
6	0110	6	6
7	0111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

位、字节与字符

1 字节 = 8 位 = 2 个十六进制位
1 个 Unicode 字符（BMP 平面内）= 16 位 = 2 字节 = 4 个十六进制位，所以字符码位写作 U+XXXX

5 进制之间的转换

是否有必要专门学？有——读日志、看内存、调试二进制文件时，能一眼看懂 0x 开头的东西，靠的就是下面这几条规则：

flowchart TD
    T[进制转换] --> M1[任意进制 转 十进制]
    M1 --> S1[按权相加法]
    T --> M2[十进制 转 任意进制]
    M2 --> S2[除基取余法]
    T --> M3[二 八 十六 互转]
    M3 --> S3[分组法<br>转八进制 每 3 位一组<br>转十六进制 每 4 位一组]

方法一：按权相加法（任意进制 → 十进制）

一个数 b(n-1)...b1b0，从右往左每一位乘上它的权（基数的 n 次方），再相加：

数值 = b(n-1) × X^(n-1) + ... + b1 × X¹ + b0 × X⁰

例：二进制 1101 → 十进制

1101 = 1×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ = 8 + 4 + 0 + 1 = 13

例：十六进制 0x3F → 十进制

0x3F = 3×16¹ + 15×16⁰ = 48 + 15 = 63

方法二：除基取余法（十进制 → 任意进制）

用目标进制不断除，记录余数，从下往上读：

例：768 → 十六进制

768 ÷ 16 = 48 … 0
 48 ÷ 16 =  3 … 0
  3 ÷ 16 =  0 … 3

从下往上读：0x300

例：25 → 二进制

25 ÷ 2 = 12 … 1
12 ÷ 2 =  6 … 0
 6 ÷ 2 =  3 … 0
 3 ÷ 2 =  1 … 1
 1 ÷ 2 =  0 … 1

从下往上读：11001

方法三：分组法（二 ↔ 八 / 十六）

二进制与八、十六进制的互转不用算，直接分组：

二进制 → 八进制：每 3 位一组（3 位二进制正好有 8 种状态，对应一位八进制数码）
二进制 → 十六进制：每 4 位一组（4 位二进制正好有 16 种状态，对应一位十六进制数码）
反向同理：一位八进制展开成 3 位二进制，一位十六进制展开成 4 位二进制

例：0x3F → 二进制

3 = 0011，F = 1111  →  0011 1111

例：二进制 110110 → 八进制

110 110  →  66（八进制）

八进制与十六进制之间没有直接的分组关系，需要先转成二进制或十进制。

6 为什么计算机用二进制

物理上最简单：电路只有两种稳定状态——高电平/低电平、有磁/无磁、开/关。若用十进制，就要区分 10 种电压，成本高还容易出错
抗干扰：只有 0/1 两种状态，电压在一定的范围内都算有效，噪声不容易造成误判
逻辑代数：布尔的"与、或、非"正好对应电路的与门、或门、非门，二进制运算可以直接映射成电路运算
运算简单：二进制的加法表、乘法表都只有 4 条规则，电路设计最简单

7 为什么程序员爱用十六进制

与字节对齐：一个字节正好两位十六进制数，看内存就是看 0x 开头的两两一组
位运算直观：掩码 0xFF、0xF0 一眼能看懂
颜色表示：CSS 的 #RRGGBB，红色就是 #FF0000
地址表示：内存地址、端口号习惯用十六进制，与字节的换算不用心算

那八进制为什么没落？因为早期计算机的字长是 12、24、36 位（3 的倍数），3 位一组很自然；8 位字节成为标准后，4 位一组（十六进制）取代了它。如今八进制只剩少数场景还在用——比如 Unix 文件权限 777（rwx 三位一组）。